Реклама


C4v

Символы Шёнфлиса — одно из обозначений точечных групп симметрии, наряду с символами Германа — Могена. Предложены немецким математиком Артуром Шёнфлисом в книге «Kristallsysteme und Kristallstruktur» в 1891.[1] Могут также использоваться для обозначения пространственных групп (трёхмерной кристаллографической группы).

Обозначение точечных групп[ | код]

При точечной симметрии хотя бы одна точка сохраняет своё положение. Точечные группы симметрии в трёхмерном пространстве можно разделить на несколько семейств. В символах Шёнфлиса они описываются следующим образом:

  • Cnv (от нем. vertical — вертикальный) — группы с n вертикальными плоскостями симметрии, расположенными вдоль оси симметрии, которая всегда мыслится вертикальной.
  • Cnh (от нем. horisontal — горизонтальный) — группы c горизонтальной плоскостью симметрии, перпендикулярной к оси симметрии.
  • Cs — для плоскости неопределённой ориентации, то есть не фиксированной ввиду отсутствия в группе иных элементов симметрии.
  • Dnh — также имеет горизонтальную и n вертикальных плоскостей симметрии.
  • Dnd (от нем. diagonal — диагональный) — также имеет n вертикальных плоскостей симметрии, идущих по диагонали между горизонтальными осями второго порядка.

Группа D2 иногда раньше обозначалась как V (от нем. Vierergruppeчетверная группа), а группы D2h и D2d как Vh и Vd, соответственно.

  • T, Th, Td - совокупность поворотных осей в тетраэдре (только поворотные оси 2-го и 3-го порядков).
  • O, Oh - совокупность поворотных осей в октаэдре или кубе (поворотные оси 2-го, 3-го и 4-го порядков).
  • I, Ih - совокупность поворотных осей в икосаэдре или додекаэдре (поворотные оси 2-го, 3-го и 5-го порядков).

Иногда икосаэдрические группы I и Ih обозначаются как Y и Yh.


Группы, в которых не более одной оси высшего порядка, можно расположить в следующей таблице

n 1 2 3 4 5 6 7 8 ...
Cn C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8
...
C
Cnv C1v = Cs C2v C3v C4v C5v C6v C7v C8v
...
C∞v
Cnh C1h = Cs C2h C3h C4h C5h C6h C7h C8h
...
C∞h
Sn S1 = Cs S2 = Ci S3 = C3h S4 S5 = C5h S6 S7 = C7h S8
...
S = C∞h
Cni C1i = Ci C2i = Cs C3i = S6 C4i = S4 C5i = S10 C6i = C3h C7i = S14 C8i = S8
...
C∞i = C∞h
Dn D1 = C2 D2 = V D3 D4 D5 D6 D7 D8
...
D
Dnh D1h = C2v D2h = Vh D3h D4h D5h D6h D7h D8h
...
D∞h
Dnd D1d = C2h D2d = Vd D3d D4d D5d D6d D7d D8d
...
D∞d = D∞h

Бордовым цветом отмечены не употребляемые варианты обозначений групп.

В кристаллографии из-за наличия трансляционной симметрии кристаллической структуры n может принимать только значения 1, 2, 3, 4 и 6. Некристаллографические точечные группы даны на сером фоне. D4d и D6d также являются некристаллографическими, так как содержат зеркальные оси порядка 8 и 12, соответственно. 27 кристаллографических точечных групп из таблицы и пять групп T, Td, Th, O и Oh составляют все 32 кристаллографические точечные группы симметрии.

Группы с называются предельными группами[2] или группами Кюри. К ним относятся ещё две группы, не представленные в таблице. Это группа всех возможных вращений вокруг всех осей проходящих через точку, K (от нем. Kugel — шар) — группа вращений, а также группа Kh, которая описывает симметрию шара — максимально возможную точечную симметрию в трёхмерном пространстве; все точечные группы являются подгруппами группы Kh. Иногда эти группы обозначаются также R(3) (от англ. rotation — вращение) и Rh(3). В математике и теоретической физике их обычно обозначают как SO(3) и O(3) (специальная ортогональная группа в трёхмерном пространстве и ортогональная группа в трёхмерном пространстве).

Обозначение пространственных групп[ | код]

Если в пространственной группе убрать трансляционные компоненты (то есть убрать трансляции и заменить винтовые оси на обычные оси, а плоскости скользящего отражения на зеркальные плоскости), то получится соответствующая пространственной группе точечная группа — одна из 32-х кристаллографических точечных групп. Символ Шёнфлиса пространственной группы образуется из символа соответствующей точечной группы с дополнительным верхним цифровым индексом, так как обычно одной точечной группе соответствует сразу несколько пространственных групп (максимум — 28 пространственных групп для группы D2h). При этом индекс не даёт никакой дополнительной информации об элементах симметрии группы, а просто связан с тем, в какой последовательности Шёнфлис выводил 230 пространственных групп. Таким образом, символ Шёнфлиса для пространственной группы не только ничего не говорит об ориентации элементов симметрии по отношению к осям ячейки, но даже не даёт информации о центрировке ячейки и трансляционной составляющей осей и плоскостей симметрии. Чтобы получить полную информацию о пространственной группе из символа Шёнфлиса, надо пользоваться таблицей, в которой сопоставлены эти символы символам Германа-Могена. Например, такая таблица дана в списке пространственных групп или здесь.

См. также[ | код]

Внешние ссылки[ | код]

Литература[ | код]

Примечания[ | код]

  1. Arthur Moritz Schönflies, «Krystallsysteme und Krystallstructur», Druck und Verlag von B. G. Teubner, 1891
  2. Предельные точечные группы

.

Реклама