Реклама


4900 (число)

Не следует путать с проблемой плотной упаковки равных сфер.
Единственный нетривиальный способ укладки пушечных ядер в квадрат и в пирамиду

Задача о пушечных ядрах (англ. cannonball problem) — задача о нахождении числа пушечных ядер, которые можно уложить и в один слой в форме квадрата, и в форме пирамиды с квадратом в основании, то есть о нахождении квадратных чисел, также являющихся квадратными пирамидальными числами. Нахождение этого числа сводится к решению диофантова уравнения или . Уравнение имеет два решения: и , то есть одно пушечное ядро, и и , то есть 4900 пушечных ядер.

История задачи[ | код]

Вопросы укладки пушечных ядер интересовали уже сэра Уолтера Рэли и его современника Томаса Хэрриота[1], однако в приведённой выше форме она была сформулирована в 1875 году Эдуаром Люка, предположившим, что кроме и других решений не существует[2]. Частичные доказательства были предложены Море-Бланом (1876)[3] и самим Люка (1877)[4]. Первое полное доказательство было предложено Уотсоном (1918)[5]; доказательство использовало эллиптические функции[6]. Ещё одно доказательство было предложено Люнггреном (англ.) (1952)[7] с использованием уравнения Пелля[8]. Доказательства с использованием только элементарных функций были предложены Ма (1985)[9] и Энглином (1990)[10][6].

Доказательства[ | код]

Доказательство Уотсона[ | код]

Доказательство Уотсона[5] основано на наблюдении, что из трёх чисел , и одно должно делиться на 3; и либо , либо должно быть чётным; и что все остальные множители должны быть квадратами. Тем самым возможны шесть вариантов:

Однако, поскольку при делении на 3 может иметь только остатки 0 или 2, первый вариант приводит к противоречию. Аналогичным образом можно исключить второй, третий и четвёртый варианты.

Пятый вариант приводит к решению . Действительно, возможно только при нечётном , и , то есть, существуют целые числа и , такие что или . Однако, приводит к противоречию . Следовательно, , то есть, и . Как показано Жероно, и являются единственными решениями последней системы уравнений[11]. Случай невозможен, так как ; случай приводит к . Альтернативное доказательство единственности решения в этом случае использует то, что единственными решениями являются и приведено в главе 6.8.2 книги Коэна[12].

Доказательство отсутствия нетривиальных решений в шестом варианте требует применения эллиптических функций. Действительно, шестой вариант можно привести к виду . Вместо этих уравнений Уотсон рассматривает более общий случай и показывает, что решения этих уравнений должны удовлетворять , где  — неотрицательное целое число, задана , , , а , , и  — эллиптические функции Якоби. Далее Уотсон доказывает, что численно равно единице, только если , то есть , и единственное возможное в этом случае решение .

Доказательство Ма[ | код]

Доказательство единственности приведённых выше решений, предложенное Ма, основывается на последовательном доказательстве следующих утверждений[12]:

Подробности доказательства приведены в главе 6.8.2 книги Коэна[12].

Обобщения задачи[ | код]

За исключением тривиального случая не существует числа пушечных ядер, которые бы можно было уложить в виде пирамиды с квадратом в основании, и которое бы при этом одновременно являлось кубом, четвёртой или пятой степенью натурального числа[13]. Более того, это же справедливо для укладки ядер в виде правильного тетраэдра[13].

Другим обобщением задачи является вопрос о нахождении числа ядер, которые можно уложить в форме квадрата и усечённой пирамиды с квадратом в основании. То есть ищут последовательных квадратов (не обязательно начиная с 1), сумма которых является квадратом. Известно, что множество таких бесконечно, имеет асимптотическую плотность ноль и для , не являющихся квадратами, существует бесконечно много решений[8]. Число элементов множества , не превышающих , оценивается как . Первые элементы множества и соответствующие наименьшие значения , такие что является квадратом, приведены в следующей таблице[8]:

n 2 11 23 24 26 33 47 49 50 59
a 3 18 7 1 25 7 539 25 7 22

Для и решением является пифагорова тройка . Для и решением является приведённое выше решение задачи об укладке пушечных ядер. Последовательность элементов множества  — последовательность A001032 в OEIS[14].

Ещё одно обобщение задачи было рассмотрено Канэко и Татибаной[15]: вместо вопроса о равенстве суммы первых квадратных чисел и другого квадратного числа, они рассмотрели вопрос о равенстве суммы первых многоугольных чисел и другого многоугольного числа и показали, что для любого существует бесконечно много последовательностей первых -угольных чисел, таких что их сумма равна другому многоугольному числу, и что для любого существует бесконечное число -угольных чисел, представимых в виде суммы последовательностей первых многоугольных чисел. Более того, Канэко и Татибана установили, что для любого натурального выполняются следующие отношения:

где  — -ое -угольное число, а  — -ое -угольное пирамидальное число, то есть, сумма первых -угольных чисел[15].

Связь с другими областями математики[ | код]

Нетривиальное решение приводит к построению решётки Лича (которая, в свою очередь, связана с различными областями математики и теоретической физики — теория бозонных струн, монстр). Это делается с помощью чётной унимодулярной решётки в 25+1-мерном псевдоевклидовом пространстве. Рассмотрим вектор этой решётки . Поскольку и  — решение задачи об укладке пушечных ядер, этот вектор — светоподобный, , откуда, в частности, следует, что он принадлежит собственному ортогональному дополнению . Согласно Конвею[16][17], вектор позволяет построить решётку Лича


См. также[ | код]

Примечания[ | код]

  1. David Darling. Cannonball Problem. The Internet Encyclopedia of Science.
  2. Édouard Lucas. Question 1180. // Nouv. Ann. Math. — 1875. — Вып. 14. — С. 336.
  3. Claude Séraphin Moret-Blanc. Question 1180. // Nouv. Ann. Math. — 1876. — Вып. 15. — С. 46—48.
  4. Édouard Lucas. Question 1180. // Nouv. Ann. Math. — 1877. — Вып. 15. — С. 429—432.
  5. 1 2 G. N. Watson. The Problem of the Square Pyramid. // Messenger Math. — 1918. — Вып. 48. — С. 1—22.
  6. 1 2 Eric W. Weisstein. Cannonball Problem (англ.). MathWorld--A Wolfram Web Resource. Дата обращения: 6 июля 2017.
  7. W. Ljunggren. New solution of a problem proposed by E. Lucas // Norsk Mat. Tid.. — 1952. — Вып. 34. — С. 65—72.
  8. 1 2 3 Richard K. Guy. Unsolved Problems in Number Theory / K. A. Bencsath, P. R. Halmos. — 3rd. — Springer. — P. 223—224. — 454 p. — (Problem Books in Mathematics). — ISBN 978-1-4419-1928-1.
  9. D. G. Ma. An Elementary Proof of the Solutions to the Diophantine Equation . // Sichuan Daxue Xuebao. — 1985. — Вып. 4. — С. 107—116.
  10. W. S. Anglin. The Square Pyramid Puzzle. // Amer. Math. Monthly. — 1990. — Вып. 97. — С. 120—124.
  11. C.-C. Gerono. Démonstration d'une formule dont on peut déduire, comme cas particulier, le binôme de Newton // Nouvelles annales de mathématiques: journal des candidats aux écoles polytechnique et normale. — 1857. — Т. 16. — С. 237—240.
  12. 1 2 3 Henri Cohen. Number Theory. — 2007: Springer. — P. 424—427. — 653 p. — ISBN 978-0-387-49922-2.
  13. 1 2 Elena Deza, Michel Marie Deza. Figurate Numbers. — Singapore: World Scientific, 2012. — P. 98. — 456 p. — ISBN 981-4355-48-8.
  14. N. J. A. Sloane. A001032 Numbers n such that sum of squares of n consecutive integers ≥ 1 is a square. (англ.). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Дата обращения: 10 июля 2017.
  15. 1 2 Masanobu Kaneko and Katsuichi Tachibana. When is a polygonal pyramid number again polygonal? : [англ.] // Rocky Mountain Journal of Mathematics. — 2002. — Т. 32, № 1. — С. 149—165.
  16. J. H. Conway. The automorphism group of the 26-dimensional even unimodular Lorentzian lattice // Journal of Algebra. — 1983. — Vol. 80. — P. 159—163. — doi:10.1016/0021-8693(83)90025-X.
  17. J. H. Conway, N. J. A. Sloane. 26. Lorentzian Forms for the Leech Lattice. 27. The Automorphism Group of the 26-Dimensional Lorentzian Lattice // Sphere Packings, Lattices and Groups. — 3rd ed. — Springer-Verlag New York, 1999. — ISBN 978-1-4757-6568-7, 978-0-387-98585-5.


Реклама