Каждый год в начале января Земля, проходя через перигелий, движется быстрее, поэтому видимое перемещение Солнца по эклиптике к востоку также происходит быстрее, чем в среднем за год. В начале июля Земля, проходя афелий, движется медленнее, поэтому и перемещение Солнца по эклиптике замедляется. Закон площадей указывает также, что сила, управляющая орбитальным движением планет, направлена к Солнцу.
Поскольку движение и масса оказались связаны, эту комбинацию гармонического закона Кеплера и закона тяготения Ньютона используют для определения массы планет и спутников, если известны их орбиты и орбитальные периоды.
Вывод Первого закона Кеплера[ | код]
Рассмотрим движение в полярных координатах
, центр которых совпадает с центром масс системы (приближенно, совпадает с Солнцем).
Пусть
— радиус-вектор к планете, за
обозначим единичный вектор, указывающий его направление. Аналогично введём
— единичный вектор, перпендикулярный
, направленный в сторону увеличения полярного угла
. Запишем производные по времени, обозначая их точками:


Закон всемирного тяготения Ньютона гласит, что «каждый объект во Вселенной притягивает каждый другой объект по линии, соединяющей центры масс объектов, пропорционально массе каждого объекта, и обратно пропорционально квадрату расстояния между объектами». То есть ускорение имеет вид:

Или в координатной форме:

Во втором уравнении распишем
и
:

Избавляясь от времени и разделяя переменные, получим:

Интегрирование которого даст:

Полагая
и упрощая логарифмы имеем окончательно

Константа
по смыслу является удельным угловым моментом (
). Мы показали, что в в поле центральных сил он сохраняется.
Для работы с первым уравнением удобно произвести замену:

И переписать производные, попутно избавляясь от времени


Уравнение движения в направлении
тогда запишется:

Закон всемирного тяготения Ньютона связывает силу на единицу массы с расстоянием как

где
— универсальная гравитационная константа и
— масса звезды.
В результате:

Это дифференциальное уравнение можно переписать в полных производных:

Избавляясь от которых получим:

И окончательно:

Разделив переменные и произведя элементарное интегрирование получим общее решение:
![u = \frac{GM}{\ell^2} \left[ 1 + e\cos(\theta-\theta_0) \right] .](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42fbe7cf85e62de26af8d081e36bc2a4ef36954c)
для констант интегрирования
и
, зависящих от начальных условий.
Заменяя
на 1/
и вводя
, имеем окончательно:

Мы получили уравнение конического сечения с параметром
и эксцентриситетом
и началом системы координат в одном из фокусов. Таким образом, первый закон Кеплера прямо следует из закона всемирного тяготения Ньютона и второго закона Ньютона.
Вывод Второго закона Кеплера[ | код]
По определению момент импульса
точечного тела с массой
и скоростью
записывается в виде:
.
где
— радиус-вектор тела, а
— его импульс. Площадь, заметаемая радиус-вектором
за время
из геометрических соображений равна
,
где
представляет собой угол между векторами
и
.
При выводе первого закона было показано, что
. То же самое можно получить простым дифференцированием углового момента:

Последний переход объясняется равенством нулю векторного произведения колинеарных векторов. Действительно, сила здесь всегда направлена по радиус-вектору, тогда как импульс направлен вдоль скорости по определению.
Получили, что
не зависит от времени. Значит
постоянен, а следовательно и пропорциональная ей скорость заметания площади
— константа.
Вывод Третьего закона Кеплера[ | код]
Второй закон Кеплера утверждает, что радиус-вектор обращающегося тела заметает равные площади за равные промежутки времени. Если теперь мы возьмём очень малые промежутки времени в момент, когда планета находится в точках
(перигелий) и
(афелий), то мы сможем аппроксимировать площадь треугольниками с высотами, равными расстоянию от планеты до Солнца, и основанием, равным произведению скорости планеты на время.



Используя закон сохранения энергии для полной энергии планеты в точках
и
, запишем









Теперь, когда нашли
, мы можем найти секторную скорость. Так как она постоянна, то можем выбрать любую точку эллипса: например, для точки B получим

Однако полная площадь эллипса равна
(что равно
, поскольку
). Время полного оборота, таким образом, равно




Заметим, что если масса
не пренебрежимо мала по сравнению с
, то планета будет обращаться вокруг Солнца с той же скоростью и по той же орбите, что и материальная точка, обращающаяся вокруг массы
(см. приведённая масса). При этом массу
в последней формуле нужно заменить на
:

Альтернативный расчёт[ | код]
Рассмотрим планету как точку массой

, вращающейся по эллиптической орбите, в двух положениях:
- перигелий с радиус-вектором
, скоростью
;
- афелий с радиус-вектором
, скоростью
.
Запишем закон сохранения момента импульса

- и закон сохранения энергии
,
где M — масса Солнца.
Решая систему, нетрудно получить соотношение на скорость планеты в точке «перигелий»:
.
Выразим секторную скорость (которая по второму закону Кеплера является постоянной величиной):
.
Вычислим площадь эллипса, по которому движется планета. С одной стороны:

где
— длина большой полуоси,
— длина малой полуоси орбиты.
С другой стороны, воспользовавшись тем, что для вычисления площади сектора можно перемножить секторную скорость на период оборота:
.
Следовательно,
.
Для дальнейших преобразований воспользуемся геометрическими свойствами эллипса. Имеем соотношения



Подставим в формулу площади эллипса:

Откуда окончательно получим:

или в традиционном виде

Примечания[ | код]
- ↑ Holton, Gerald James. Physics, the Human Adventure: From Copernicus to Einstein and Beyond / Holton, Gerald James, Brush, Stephen G.. — 3rd paperback. — Piscataway, NJ : Rutgers University Press, 2001. — P. 40–41. — ISBN 978-0-8135-2908-0.
- ↑ Astronomia nova Aitiologitis, seu Physica Coelestis tradita Commentariis de Motibus stellae Martis ex observationibus G.V. Tychnonis. Prague 1609.
- ↑ Johannes Kepler, Harmonices Mundi [The Harmony of the World] (Linz, (Austria): Johann Planck, 1619), book 5, chapter 3, p. 189.
См. также[ | код]
Литература[ | код]
| |
---|
В библиографических каталогах | |
---|
|
---|
Древний период | | |
---|
Средневековье | |
---|
Становление теоретической астрономии | |
---|
XVII век | |
---|
XVIII век | |
---|
XIX век | |
---|
XX век | |
---|
|
---|
Научные достижения | | |
---|
Публикации | |
---|
Семья | |
---|