int(0)
Реклама


1 (число)

1
один
← −1 · 0 · 1 · 2 · 3 
Разложение на множители единица
Римская запись I
Двоичное 1
Восьмеричное 1
Шестнадцатеричное 1
Логотип Викисклада Медиафайлы на Викискладе

1 (оди́н, един, едини́ца, раз) — наименьшее натуральное число[1][2], целое число между 0 и 2.

Обозначение[ | код]

Единица обозначается арабской цифрой «1»[2].

В математике инков единица обозначалось в кипу в виде одного узла на свисающей нити. В кириллической записи чисел единица обозначалась буквой а (азъ) .

Свойства[ | код]

Единица — единственное положительное число, которое равно своему обратному. Поэтому привело к одному из основных понятий в теории групп — нейтральному элементу, часто называемому просто единицей группы.

Для любого числа x:

x·1 = 1·x = x (см.: умножение).
x/1 = x (см.: деление)
x1 = x, 1x = 1, и для ненулевого числа x, x0 = 1 (см.: возведение в степень)
x↑↑1 = x и 1↑↑x = 1 (см.: суперстепень).

Число 1 не может быть самостоятельно использовано как основа позиционной системы счисления, но существует унарная система счисления, которая основана на многократном суммировании единицы, обозначаемой единственной цифрой в унарной системе, и, соответственно, является непозиционной. Поскольку квадрат, куб и любая другая степень числа 1 равняется единице, логарифмы по основанию 1 от числа, не равного 1, не определены.

В настоящее время в математике принято не относить единицу ни к простым, ни к составным числам, так как это нарушает важную для теории чисел единственность разложения на простые множители. Последним из профессиональных математиков, кто рассматривал 1 как простое число, был Анри Лебег в 1899 году.

Число 1 — наименьшее натуральное число, большее нуля (является ли нуль натуральным числом — зависит от принятых соглашений). Иногда за определение 1 принимают утверждение «при умножении единицы на любое другое число в результате получается это же число», а натуральные числа определяют, исходя из определений единицы и операции сложения.

Единица также используется в тождестве Эйлера — математическом соотношении пяти констант математики — собственно единицы, нуля, e, π и i:

Числом 1 также оказалась константа Лежандра. Изначально сам Лежандр высказал гипотезу о том, что она равна примерно 1,08366, но впоследствии Чебышёв, а затем Валле-Пуссен и Пинтц доказали элементарность этого числа, и константа Лежандра стала иметь лишь историческую ценность.

История[ | код]

Ряд знаменитых учёных Древней Греции рассматривали каждое из натуральных чисел как собрание единиц; сама же единица числом не считалась[3]. В XVII веке Декарт и Ньютон приняли в своих трудах более современную точку зрения на сущность числа. Ньютон в трактате «Универсальная арифметика» писал[4]:

Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлечённое отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой за единицу.

В XX веке понятие числа окончательно отделилось от операции измерения и рассматривается как чисто математический объект, свойства которого задаются набором аксиом.

Вариации и обобщения[ | код]

Единица — единственное положительное число, которое равно своему обратному. Поэтому обобщение этого свойства привело к одному из основных понятий в теории групп — понятию нейтрального элемента, который часто называют просто единицей группы.

Единица является автоморфным числом в любой позиционной системе счисления.

В представлении фон Неймана для натуральных чисел единица определяется как множество {0}. Это множество имеет кардинальность 1 и наследственный ранг 1. Такие множества с единственным элементом называются синглетонами.

См. также[ | код]

Примечания[ | код]

  1. Ноль традиционно в русских источниках не считается натуральным числом в математике, но считается в информатике.
  2. 1 2 БРЭ.
  3. Энциклопедический словарь юного математика, 1985.
  4. История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. II. — С. 35.

Литература[ | код]

Ссылки[ | код]

Реклама