Реклама


Числовая последовательность

Последовательность

Числовая последовательность (ранее в русскоязычной математической литературе встречался термин вариа́нта[1][2], принадлежащий Ш. Мерэ[1]) — это последовательность чисел.

Числовые последовательности являются одним из основных объектов рассмотрения в математическом анализе.

Определение[ | код]

Пусть  — это либо множество вещественных чисел , либо множество комплексных чисел . Тогда последовательность элементов множества называется числовой последовательностью.

Примеры[ | код]

Операции над последовательностями[ | код]

На множестве всех последовательностей элементов множества можно определить арифметические и другие операции, если таковые определены на множестве . Такие операции обычно определяют естественным образом, то есть поэлементно.

Пусть на множестве определена -арная операция :

Тогда для элементов , , …, множества всех последовательностей элементов множества операция будет определяться следующим образом:

Например, так определяются арифметические операции для числовых последовательностей.

Суммой числовых последовательностей и называется числовая последовательность такая, что

Разностью числовых последовательностей и называется числовая последовательность такая, что .

Произведением числовых последовательностей и называется числовая последовательность такая, что .

Частным числовой последовательности и числовой последовательности , все элементы которой отличны от нуля, называется числовая последовательность . Если в последовательности на позиции всё же имеется нулевой элемент, то результат деления на такую последовательность всё равно может быть определён, как последовательность .

Конечно, арифметические операции могут быть определены не только на множестве числовых последовательностей, но и на любых множествах последовательностей элементов множеств, на которых определены арифметические операции, будь то поля или даже кольца.

Подпоследовательности[ | код]

Подпоследовательность последовательности  — это последовательность , где  — возрастающая последовательность элементов множества натуральных чисел.

Иными словами, подпоследовательность получается из последовательности удалением конечного или счётного числа элементов.

Примеры[ | код]

Свойства[ | код]

Предельная точка последовательности[ | код]

Предельная точка последовательности — это точка, в любой окрестности которой содержится бесконечно много элементов этой последовательности. Для сходящихся числовых последовательностей предельная точка совпадает с пределом.

Предел последовательности[ | код]

Предел последовательности — это объект, к которому члены последовательности приближаются с ростом номера. Так в произвольном топологическом пространстве пределом последовательности называется элемент, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого. В частности, для числовых последовательностей предел — это число, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности начиная с некоторого.

Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей. У сходящихся числовых последовательностей он всегда совпадает с обычным пределом.

Верхний предел последовательности — это наибольшая предельная точка этой последовательности.

Нижний предел последовательности — это наименьшая предельная точка этой последовательности.

Некоторые виды последовательностей[ | код]

Ограниченные и неограниченные последовательности[ | код]

В предположении о линейной упорядоченности множества элементов последовательности можно ввести понятия ограниченных и неограниченных последовательностей.

Критерий ограниченности числовой последовательности[ | код]

Числовая последовательность является ограниченной тогда и только тогда, когда существует такое число, что модули всех членов последовательности не превышают его.

ограниченная .

Свойства ограниченных последовательностей[ | код]

Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности[ | код]

Свойства бесконечно малых последовательностей[ | код]

Бесконечно малые последовательности отличаются целым рядом замечательных свойств, которые активно используются в математическом анализе, а также в смежных с ним и более общих дисциплинах.

Сходящиеся и расходящиеся последовательности[ | код]

Свойства сходящихся последовательностей[ | код]

Монотонные последовательности[ | код]

Монотонная последовательность — это невозрастающая, либо неубывающая последовательность. При этом предполагается, что на множестве, из которого берутся элементы последовательности, введено отношение порядка.

Фундаментальные последовательности[ | код]

Фундаментальная последовательность (сходящаяся в себе последовательность, последовательность Коши) — это последовательность элементов метрического пространства, в которой для любого наперёд заданного расстояния найдётся такой элемент, расстояние от которого до любого из следующих за ним элементов не превышает заданного. Для числовых последовательностей понятия фундаментальной и сходящейся последовательностей эквивалентны, однако в общем случае это не так.

Примечания[ | код]

  1. 1 2 Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Изд. 7-е, стереотипное. — М.: Наука, 1969. — Т. 1. — С. 44. — 608 с.
  2. Микиша А. М., Орлов В. Б. Толковый математический словарь. Основные термины: около 2500 терминов / Под ред. к.ф.-м.н. А. П. Савина. — М.: Русский язык, 1989. — С. 16. — 244 с. — ISBN 5-200-01253-8.

См. также[ | код]

Реклама