Реклама


Числа Фибоначчи

Черепица с квадратами, длина сторон которых является последовательными числами Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 и 21
Спираль Фибоначчи: приближение золотой спирали, созданной путём рисования круговых дуг, соединяющих противоположные углы квадратов в мозаике Фибоначчи;[1] (см. предыдущее изображение)

Чи́сла Фибона́ччи (иногда пишут Фибона́чи[2]) — элементы числовой последовательности

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, … (последовательность A000045 в OEIS),

в которой первые два числа равны либо 1 и 1, либо 0 и 1, а каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел[3]. Названы в честь средневекового математика Леонардо Пизанского (известного как Фибоначчи)[4].

Более формально, последовательность чисел Фибоначчи задаётся линейным рекуррентным соотношением:

,
где .

В некоторых книгах, особенно в старых, , равное нулю, опускается; тогда последовательность Фибоначчи начинается с [5][6].

Иногда числа Фибоначчи рассматривают и для отрицательных значений , как двусторонне бесконечную последовательность, удовлетворяющую тому же рекуррентному соотношению. При этом члены с отрицательными индексами легко получить с помощью эквивалентной формулы «назад»: :

n −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−55 34 −21 13 −8 5 −3 2 −1 1 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

Легко заметить, что .

Происхождение[ | код]

Количество пар кроликов образуют последовательность Фибоначчи
Страница Книги абака (лат. Liber abaci) Фибоначчи из Национальной центральной библиотеки Флоренции.
В правом блоке демонстрируется последовательность Фибоначчи. Позиции от 0 до 12 обозначены тёмным цветом римскими цифрами, а значения красным цветом индо-арабскими цифрами

Последовательность Фибоначчи была хорошо известна в древней Индии[7][8][9], где она применялась в метрических науках (просодии, другими словами — стихосложении) намного раньше, чем стала известна в Европе[8][10][11].

Образец длиной n может быть построен путём добавления S к образцу длиной n − 1, либо L к образцу длиной n − 2; и просодицисты показали, что число образцов длиною n является суммой двух предыдущих чисел в последовательности[9]. Дональд Кнут рассматривает этот эффект в книге «Искусство программирования».

На Западе эта последовательность была исследована Леонардо Пизанским, известным как Фибоначчи, в его труде «Книга абака» (1202)[12][13]. Он рассматривает развитие идеализированной (биологически нереальной) популяции кроликов, предполагая, что: изначально есть новорождённая пара кроликов (самец и самка); со второго месяца после своего рождения кролики начинают спариваться и каждый месяц производить новую пару кроликов; кролики никогда не умирают[14][15]. Сколько пар кроликов будет через год?

В конце -го месяца количество пар кроликов будет равно количеству пар в предыдущем месяце плюс количество новорождённых пар, которых будет столько же, сколько пар было два месяца назад. Таким образом: [16]. Возможно, эта первая задача, моделирующая экспоненциальный рост популяции.

Название «последовательность Фибоначчи» впервые было использовано теоретиком XIX века Эдуардом Люкой[17].

Формула Бине[ | код]

Формула Бине выражает в явном виде значение как функцию от n:

,

где  — золотое сечение. При этом и являются корнями характеристического уравнения . Аналогичная формула существует для любой линейной рекуррентной последовательности.

Из формулы Бине следует, что для всех , число есть округление , то есть . В частности, при справедлива асимптотика .

Формула Бине может быть аналитически продолжена следующим образом:

.

При этом соотношение выполняется для любого комплексного числа z.

Тождества[ | код]

Иллюстрация формулы для суммы квадратов первых n чисел Фибоначчи[18]

И более общие формулы:

где матрицы имеют размер , и i — мнимая единица.
Как следствие, подсчёт определителей даёт
.

Свойства[ | код]

Тринадцать () способов расположения длинных (красные) и коротких слогов (серые) в каденции[en] длины шесть: пять () заканчивается длинным слогом и восемь () — коротким
Числа Фибоначчи — это суммы «мелких» диагоналей (показаны красным) треугольника Паскаля
Последовательные наклоны плоскости и график приближений к золотому сечению, рассчитанному путём деления каждого числа Фибоначчи на предыдущее
на множестве неотрицательных целых чисел x и y[20].

Вариации и обобщения[ | код]

В других областях[ | код]

Жёлтая ромашковая головка, показывающая расположение в 21 (синяя) и 13 (аква) спиралей. Такие схемы, включающие последовательные числа Фибоначчи, встречаются у самых разных растений
Число возможных предков на линии наследования Х-хромосомы в данном поколении предков следует последовательности Фибоначчи (Хатчисон Л. Растущее семейное древо: сила ДНК в восстановлении семейных отношений)[23]
Иллюстрация модели Фогеля для n = 1 ... 500

Существует мнение, что почти все утверждения, находящие числа Фибоначчи в природных и исторических явлениях, неверны — это распространённый миф, который часто оказывается неточной подгонкой под желаемый результат[24][25].

В природе[ | код]

В искусстве[ | код]

В поэзии чаще находят отношение «золотого сечения» (золотую пропорцию), связанное через формулу Бине с числами Фибоначчи. Например в поэме Ш. Руставели «Витязь в тигровой шкуре» и др., и на картинах художников[31].

Однако числа Фибоначчи встречаются и непосредственно в поэзии и в музыке[32]

В кодировании[ | код]

В теории кодирования предложены устойчивые так называемые «коды Фибоначчи»[33], причём основание этих кодов — иррациональное число.

См. также[ | код]

Примечания[ | код]

  1. John Hudson Tiner. Изучение мира математики: от древних записей до новейших достижений в области компьютеров (рус.). — New Leaf Publishing Group, 200. — ISBN 978-1-61458-155-0.
  2. См., например, Т. В. Кропотова, В. Г. Подольский, П. Е. Кашаргин. Введение в высшую математику. — Казанский федеральный университет институт физики.
  3. Lucas, 1891, p. 3.
  4. Числа Фибоначчи // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
  5. Beck & Geoghegan (2010).
  6. Bóna, 2011, p. 180.
  7. Goonatilake, Susantha (1998), Toward a Global Science, Indiana University Press, с. 126, ISBN 978-0-253-33388-9, <https://books.google.com/books?id=SI5ip95BbgEC&pg=PA126> 
  8. 1 2 Singh, Parmanand (1985), The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India, Historia Mathematica Т. 12 (3): 229—244, DOI 10.1016/0315-0860(85)90021-7 
  9. 1 2 Knuth, Donald (2006), The Art of Computer Programming, vol. 4. Generating All Trees – History of Combinatorial Generation, Addison–Wesley, с. 50, ISBN 978-0-321-33570-8, <https://books.google.com/books?id=56LNfE2QGtYC&pg=PA50&dq=rhythms> 
  10. Knuth, Donald (1968), The Art of Computer Programming, vol. 1, Addison Wesley, с. 100, ISBN 978-81-7758-754-8, <https://books.google.com/books?id=MooMkK6ERuYC&pg=PA100> 
  11. Livio, 2003, p. 197.
  12. Pisano, 2002, pp. 404—405.
  13. Fibonacci's Liber Abaci (Book of Calculation). The University of Utah (13 декабря 2009). Дата обращения 28 ноября 2018.
  14. Hemenway, Priya. Divine Proportion: Phi In Art, Nature, and Science (англ.). — New York: Sterling, 2005. — P. 20—21. — ISBN 1-4027-3522-7.
  15. Knott, Dr. Ron The Fibonacci Numbers and Golden section in Nature - 1. University of Surrey (25 сентября 2016). Дата обращения 27 ноября 2018.
  16. Knott, Ron Fibonacci's Rabbits. University of Surrey Faculty of Engineering and Physical Sciences.
  17. Gardner, Martin (1996), Mathematical Circus, The Mathematical Association of America, с. 153, ISBN 978-0-88385-506-5 
  18. Фибоначчи числа // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. Савин А. П.. — 2-е изд. — М.: Педагогика, 1989. — С. 312—314. — 352 с. — ISBN 5715502187.
  19. J H E Cohn. Square Fibonacci Numbers Etc, С. 109—113. Архивировано 11 июля 2010 года.
  20. P. Ribenboim. The New Book of Prime Number Records. — Springer, 1996. — С. 193.
  21. Ira Gessel. Problem H-187 // Fibonacci Quarterly. — 1972. — Т. 10. — С. 417—419.
  22. В. Серпинский. Задача 66 // 250 задач по элементарной теории чисел. — М.: Просвещение, 1968. — 168 с.
  23. Hutchison, Luke. Growing the Family Tree: The Power of DNA in Reconstructing Family Relationships (англ.) // Proceedings of the First Symposium on Bioinformatics and Biotechnology (BIOT-04) : journal. — 2004. — September.
  24. Fibonacci Flim-Flam. Архивная копия от 23 апреля 2012 на Wayback Machine (англ.).
  25. The Myth That Will Not Go Away (англ.).
  26. 1 2 Золотое сечение в природе.
  27. Числа Фибоначчи.
  28. Числа Фибоначчи.
  29. Акимов О. Е. Конец науки.
  30. Манукян Г. Поэзия чисел Фибоначчи (недоступная ссылка).
  31. Волошинов А. В. Математика и искусство. Москва: Просвещение, 2000. 400 с. ISBN 5-09-008033-X
  32. Математика в стихах и музыке
  33. Стахов А., Слученкова А., Щербаков И. Код да Винчи и ряды Фибоначчи. СПБ. Издательство: Питер, 2006. 320 с. ISBN: 5-469-01369-3

Литература[ | код]

Ссылки[ | код]

Реклама