Реклама


Теория групп

Группа (математика)
Rubik's cube.svg
Теория групп
См. также: Портал:Физика

Теория групп — раздел общей алгебры, изучающий алгебраические структуры, называемые группами, и их свойства. Группа является центральным понятием в общей алгебре, так как многие важные алгебраические структуры, такие как кольца, поля, векторные пространства, являются группами с расширенным набором операций и аксиом. Группы возникают во всех областях математики, и методы теории групп оказывают сильное влияние на многие разделы алгебры. В процессе развития теории групп построен мощный инструментарий, во многом определивший специфику общей алгебры в целом, сформирован собственный глоссарий, элементы которого активно заимствуются смежными разделами математики и приложениями. Наиболее развитые ветви теории групп — линейные алгебраические группы и группы Ли — стали самостоятельными областями математики.

Различные физические системы, такие как кристаллы или атом водорода, обладают симметриями, которые можно смоделировать группами симметрии, таким образом находя важные применения теории групп и тесно связанной с ней теории представлений в физике и химии.

Одним из наиболее значительных математических прорывов XX века[1] стала полная классификация простых конечных групп — результат совместных усилий многих математиков, занимающий более 10 тыс. печатных страниц, основной массив которых опубликован с 1960 по 1980 годы.

Содержание

История[ | код]

У теории групп три исторических корня: теория алгебраических уравнений, теория чисел и геометрия. Математики, стоящие у истоков теории групп, — это Леонард Эйлер, Карл Фридрих Гаусс, Жозеф Луи Лагранж, Нильс Хенрик Абель и Эварист Галуа. Галуа был первым математиком, связавшим теорию групп с другой ветвью абстрактной алгебры — теорией полей, разработав теорию, ныне называемую теорией Галуа.

Одной из первых задач, приведших к возникновению теории групп, была задача получения уравнения степени m, которое имело бы корнями m корней данного уравнения степени n (m < n). Эту задачу в простых случаях рассмотрел Худде (1659 г.). В 1740 г. Сондерсон заметил, что нахождение квадратичных множителей биквадратных выражений сводится к решению уравнения 6 степени, а Ле Сёр (1748 г.) и Вейринг1762 по 1782 гг.) развили эту идею.

Общую основу для теории уравнений, строящуюся на теории перестановок, в 17701771 гг. нашёл Лагранж, и на этой почве в дальнейшем выросла теория подстановок. Он обнаружил, что корни всех резольвент, с которыми он сталкивался, являются рациональными функциями от корней соответствующих уравнений. Чтобы изучить свойства этих функций, он разработал «исчисление сочетаний» (Calcul des Combinaisons). Современная ему работа Вандермонда (1770 г.) также предвосхищала развитие теории групп.

Паоло Руффини в 1799 г. предложил доказательство неразрешимости уравнений пятой и высших степеней в радикалах. Для доказательства он использовал понятия теории групп, хоть и называл их другими именами. Руффини также опубликовал письмо, написанное ему Аббати, лейтмотивом которого была теория групп.

Галуа обнаружил, что если у алгебраического уравнения несколько корней, то всегда существует группа перестановок этих корней такая, что

  1. всякая функция, инвариантная относительно подстановок группы, рациональна и, наоборот,
  2. всякая рациональная функция от корней инвариантна относительно перестановок группы. Свои первые труды по теории групп он опубликовал в 1829 г., в возрасте 18 лет, но они остались практически незамеченными, пока в 1846 г. не было издано собрание его сочинений.

Артур Кэли и Огюстен Луи Коши стали одними из первых математиков, оценивших важность теории групп. Эти учёные также доказали некоторые важные теоремы теории.[2] Изучаемый ими предмет был популяризован Серретом, который посвятил теории секцию из своей книги по алгебре, Жорданом, чей труд «Действия над подстановками» (Traité des Substitutions) стал классикой, и Ойгеном Нетто (1882 год). Большой вклад в развитие теории групп внесли также многие другие математики XIX века: Бертран, Эрмит, Фробениус, Кронекер и Матьё.

Современное определение понятия «группа» было дано только в 1882 г. Вальтером фон Дюком.[3]

В 1884 г. Софус Ли положил начало изучению как групп преобразований того, что мы сейчас называем группами Ли и их дискретными подгруппами; за его трудами последовали работы Киллинга, Штуди, Шура, Маурера и Эли Картана. Теория дискретных групп была разработана Клейном, Ли, Пуанкаре и Пикаром в связи с изучением модулярных форм и других объектов.

В середине XX века (в основном, между 1955 и 1983 гг.) была проведена огромная работа по классификации всех конечных простых групп, включающая десятки тысяч страниц статей.

Ощутимый вклад в теорию групп внесли и многие другие математики, такие как Артин, Эмми Нётер, Людвиг Силов и другие.

Краткое описание теории[ | код]

Граф свободной группы порядка 2

Понятие группы возникло в результате формального описания симметрии и эквивалентности геометрических объектов. В эрлангенской программе Феликса Клейна изучение геометрии было связано с изучением соответствующих групп преобразований. Например, если заданы фигуры на плоскости, то группой движений выясняется их равенство.

Определение. Группой называется множество элементов (конечное или бесконечное), на котором задана операция умножения[4], которая удовлетворяет следующим четырём аксиомам:

Аксиомы группы никак не регламентируют зависимость операции умножения от порядка сомножителей. Поэтому, вообще говоря, изменение порядка сомножителей влияет на произведение. Группы, для которых произведение не зависит от порядка сомножителей, называют коммутативными или абелевыми группами. Для абелевой группы

Абелевы группы довольно редко встречаются в физических приложениях. Чаще всего группы, имеющие физический смысл, являются неабелевыми:

Конечные группы небольшого размера удобно описывать при помощи т. н. «таблицы умножения». В этой таблице каждая строка и каждый столбец соответствует одному элементу группы, а в ячейку на пересечении строки и столбца помещается результат операции умножения для соответствующих элементов.

Ниже приведён пример таблицы умножения (таблицы Кэли) для группы состоящей из четырёх элементов: (1, −1, i, −i) в которой операцией является обычное арифметическое умножение:

1 −1 i −i
1 1 −1 i −i
−1 −1 1 −i i
i i −i −1 1
−i −i i 1 −1

Единичным элементом здесь является 1, обратными элементами для 1 и −1 являются они сами, а элементы i и −i являются обратными друг для друга.

Если группа имеет бесконечное число элементов, то она называется бесконечной группой.

Когда элементы группы непрерывно зависят от каких-либо параметров, то группа называется непрерывной, или группой Ли. Также говорят, что группа Ли — это группа, множество элементов которой образует гладкое многообразие. С помощью групп Ли как групп симметрий находятся решения дифференциальных уравнений.

Группы повсеместно используются в математике и естественных науках, часто для обнаружения внутренней симметрии объектов (группы автоморфизмов). Внутренняя симметрия обычно связана с инвариантными свойствами; множество преобразований, которые сохраняют это свойство, вместе с операцией композиции, образуют группу, называемую группой симметрии.

В теории Галуа, которая и дала начало понятию группы, группы используются для описания симметрии уравнений, корнями которых являются корни некоторого полиномиального уравнения. Из-за важной роли, которую они играют в этой теории, получили своё название разрешимые группы.


В алгебраической топологии группы используются для описания инвариантов топологических пространств[5]. Под инвариантами здесь имеются в виду свойства пространства, не меняющиеся при каком-то его деформировании. Примеры такого использования групп — фундаментальные группы, группы гомологий и когомологий.

Группы Ли применяются при изучении дифференциальных уравнений и многообразий; они сочетают в себе теорию групп и математический анализ. Область анализа, связанная с этими группами, называется гармоническим анализом.

В комбинаторике понятия группы подстановок и действия группы используются для упрощения подсчёта числа элементов в множестве; в частности, часто используется лемма Бёрнсайда.

Понимание теории групп также очень важно для физики и других естественных наук. В химии группы используются для классификации кристаллических решёток и симметрий молекул. В физике группы используются для описания симметрий, которым подчиняются физические законы. Особенно важны в физике представления групп, в частности, групп Ли, так как они часто указывают путь к «возможным» физическим теориям.

Группа называется циклической, если она порождена одним элементом a, то есть все её элементы являются степенями a (или, если использовать аддитивную терминологию, представимы в виде na, где n — целое число). Математическое обозначение: .

Говорят, что группа действует на множестве , если задан гомоморфизм из группы в группу всех перестановок множества . Для краткости часто записывают как или .

Примеры групп[ | код]

1
1 1
1 −1
1 1 -1
-1 -1 1
1 −1 i -i
1 1 -1 i -i
-1 -1 1 -i i
i i -i -1 1
-i -i i 1 -1
C2 E R180
E E R180
R180 R180 E
S2 E I
E E I
I I E


Элементы группы C3
C3 E R120 R240
E E R120 R240
R120 R120 R240 E
R240 R240 E R120
Элементы группы D3
D3 E R120 R240 R1 R2 R3
E E R120 R240 R1 R2 R3
R120 R120 R240 E R2 R3 R1
R240 R240 E R120 R3 R1 R2
R1 R1 R3 R2 E R240 R120
R2 R2 R1 R3 R120 E R240
R3 R3 R2 R1 R240 R120 E


Поскольку результат двух последовательных поворотов вокруг одной оси не зависит от порядка поворотов, группа R2 является коммутативной. Обратный элемент в группе определеяется формулой



указывающим, что элемент n при перестановке заменяется на элемент pn. Обратным элементом для элемента P будет элемент

Интересно, что группа S3 изоморфна группе D3, так как последняя содержит всевозможные преобразования, переводящие треугольник сам в себя, а преобразование треугольника можно задать различными перестановками трёх его вершин:

Абелевы группы[ | код]

Абелева группа есть группа, в которой групповая операция является коммутативной; то есть группа абелева если для любых двух элементов .

Групповая операция в абелевых группах обычно называется «сложением» и обозначается знаком . Абелевы группы являются основой для построения более сложных объектов абстрактной алгебры, таких как кольца, поля и модули. Название дано в честь норвежского математика Абеля за его вклад в исследование групп подстановок.

Примеры[ | код]

Связанные определения[ | код]

Свойства[ | код]

Конечные абелевы группы[ | код]

Основополагающая теорема о структуре конечной абелевой группы утверждает, что любая конечная абелева группа может быть разложена в прямую сумму своих циклических подгрупп, порядки которых являются степенями простых чисел. Это следствие общей теоремы о структуре конечнопорождённых абелевых групп для случая, когда группа не имеет элементов бесконечного порядка. изоморфно прямой сумме и тогда и только тогда, когда и взаимно просты.

Следовательно, можно записать абелеву группу в форме прямой суммы

двумя различными способами:

Например, может быть разложено в прямую сумму двух циклических подгрупп порядков 3 и 5: . То же можно сказать про любую абелеву группу порядка пятнадцать, приходим к выводу, что все абелевы группы порядка 15 изоморфны.

Вариации и обобщения[ | код]

Гиперболические группы[ | код]

Конечно-порождённая группа называется гиперболической, если она является гиперболической как метрическое пространство.

Более подробно, на конечно-порождённой группе с выбранными образующими есть естественная метрика — словарная. Группа называется гиперболической, если, снабжённая этой метрикой, она оказывается гиперболической как метрическое пространство. Поскольку при замене выбранной системы образующих метрика меняется квазиизометрично, а гиперболичность метрического пространства при этом сохраняется — понятие оказывается не зависящим от выбора системы образующих.

(P. de la Harpe, E. Ghys, Sur les groupes hyperboliques d’après Mikhael Gromov)

Теория представлений[ | код]

Приложения теории групп[ | код]

Существует большое количество приложений теории групп. Многие структуры общей алгебры могут быть рассмотрены как частные случаи групп, например, кольца могут быть рассмотрены как абелевы группы (относительно сложения) с введённой на них второй операцией — умножением. Поэтому группы лежат в основе большой части теории этих объектов.

Теория Галуа использует группы для описания симметрии корней многочлена. Основная теорема теории Галуа устанавливает связь между алгебраическими расширениями и теорией групп. Это даёт эффективный критерий разрешимости алгебраических уравнений в условиях соответствующих групп Галуа.

Некоторые теоремы[ | код]

Нерешенные проблемы теории групп[ | код]

Самым известным сборником нескольких тысяч нерешенных проблем теории групп является Коуровская тетрадь.

Примечания[ | код]

  1. Elwes, Richard, «An enormous theorem: the classification of finite simple groups,» Plus Magazine, Issue 41, December 2006.
  2. Например, теорему Кэли и теорему Коши
  3. Барут А., Рончка Р. Теория представлений групп и её приложения, т.1, 2, М., 1980.
  4. Операция обычно называется «умножение», реже используется название «сложения»
  5. отсюда, например, пошло название «подгруппа кручения»

Литература[ | код]

Ссылки[ | код]

Реклама