Реклама


Стереографическая проекция

Карта поверхности Земли в стереографической проекции

Стереографическая проекция — отображение определённого типа из сферы с одной выколотой точкой на плоскость.

Определение[ | код]

Стереографическая проекция

Точка (северный полюс сферы) является точкой на максимальном расстоянии от плоскости . Через каждую точку сферы проходит единственная прямая , соединяющая и . Прямая пересекает плоскость в единственной точке , которая, таким образом, является образом точки при стереографической проекции. В результате получается взаимно однозначное отображение сферы с выколотой точкой на плоскость .

Для того, чтобы получить взаимно однозначное отображение целой сферы, нужно дополнить плоскость элементом, являющимся образом выколотой точки . Этот элемент — так называемая бесконечно удалённая точка, обозначаемая символом . Плоскость, дополненная элементом , называется расширенной плоскостью. Стереографическая проекция целой сферы на расширенную плоскость является гомеоморфным отображением, при стремлении прообраза его образ .

Свойства[ | код]

Приложения[ | код]

В фотографии[ | код]

Сферическая панорама в стереографической проекции

Стереографическая проекция используется для отображения сферических панорам. Это приводит к интересным результатам: области, удалённые от центра проекции, сильно растягиваются, производя так называемые «эффекты маленькой планеты». В сравнении с другими азимутальными проекциями, стереографическая обычно производит самые приятные на вид панорамы; это связано с точной передачей форм в результате конформности проекции.

В кристаллографии[ | код]

Стереографическая проекция применяется для наглядного изображения точечных групп симметрии кристаллов.

История[ | код]

Стереографическая проекция была открыта Аполлонием Пергским ок. 200 года до н. э. Свойства этой проекции были описаны Клавдием Птолемеем в трактате «Планисферий». Античные астрономы использовали стереографическую проекцию для изображения небесной сферы на плоскости в астролябии.

Вариации и обобщения[ | код]

Стереографическая проекция приложима к n-сфере Sn в (n + 1)-мерном евклидовом пространстве En + 1. Если Q — точка на Sn и Eгиперплоскость в En + 1, то стереографической проекцией точки PSn − {Q} является точка P пересечения линии с E.

Обобщенная стереографическая проекция используется, например, для графического представления 3-сферы и расслоения Хопфа.

См. также[ | код]

Литература[ | код]

Примечания[ | код]

  1. Г. С. М. Коксетер, С. Л. Грейтцер. Новые_встречи_с_геометрией_1978 (неопр.). — Москва «Наука», 1978. — С. 225. (недоступная ссылка) (стр. 186)

Ссылки[ | код]

Реклама