Реклама


Мощность множества

Мо́щность мно́жества, кардина́льное число́ мно́жества (лат. cardinaliscardo «главное обстоятельство; основа; сердце») — характеристика множеств (в том числе бесконечных), обобщающая понятие количества (числа) элементов конечного множества.

В основе этого понятия лежат естественные представления о сравнении множеств:

  1. Любые два множества, между элементами которых может быть установлено взаимно-однозначное соответствие (биекция), содержат одинаковое количество элементов (имеют одинаковую мощность, равномощны).
  2. Обратно: равномощные множества должны допускать такое взаимно-однозначное соответствие.
  3. Часть множества не превосходит полного множества по мощности (то есть по количеству элементов).

До построения теории мощности множеств множества различались по признакам: пустое/непустое и конечное/бесконечное, также конечные множества различались по количеству элементов. Бесконечные же множества нельзя было сравнить.

Мощность множеств позволяет сравнивать бесконечные множества. Например, счётные множества являются самыми «маленькими» бесконечными множествами.

Мощность множества обозначается через . Иногда встречаются обозначения , и .

Содержание

Определение[ | код]

При соблюдении аксиомы выбора мощность множества формально определяется как наименьшее порядковое число , при котором между и можно установить биективное соответствие. Данное определение также называется распределением кардинальных чисел по фон Нейману. Если мы не принимаем аксиому выбора, требуется иной подход. Самое первое определение мощности множества (оно неявно присутствует в работах Кантора и явным образом сформулировано у Фреге, а также в Principia Mathematica) представляет собой класс всех множеств, равномощных . В аксиоматических системах, основанных на теории ZFC, такое определение неприменимо, поскольку при непустом такая совокупность слишком велика, чтобы подходить под определение множества. Точнее, если , то существует инъективное отображение универсального множества в , при котором каждое множество переходит в , откуда, в силу аксиомы ограничения размера следует, что  — собственный класс. Данное определение можно использовать в теории типов и «новых основаниях»[en], а также в связанных с ними аксиоматических системах. В случае ZFC определение можно использовать, если ограничить коллекцию равномощными множествами с наименьшим рангом (этот приём, предложенный Даной Скоттом, работает благодаря тому, что совокупность объектов, обладающих заданным рангом, является множеством).

Формальный порядок среди кардинальных чисел вводится следующим образом: означает, что множество можно инъективно отобразить на . Согласно теореме Кантора — Бернштейна, из пары неравенств и следует, что . Аксиома выбора эквивалентна утверждению о том, что для любых множеств и выполняется, по крайней мере, одно из неравенств или .

Множество называется бесконечным по Дедекинду[en], если в нём существует такое собственное подмножество , что . В противном случае множество называется конечным по Дедекинду. Конечные кардинальные числа совпадают с обычными натуральными числами — иначе говоря, множество конечно тогда и только тогда, когда при некотором натуральном . Все остальные множества бесконечны. При соблюдении аксиомы выбора можно доказать, что определения по Дедекинду совпадают со стандартными. Кроме того, можно доказать, что мощность множества натуральных чисел (алеф-нуль, или алеф-0 — название образовано от первой буквы еврейского алфавита ) представляет собой наименьшее бесконечно большое кардинальное число, то есть в любом бесконечном множестве есть подмножество мощности . Следующее по порядку кардинальное число обозначается и так далее, число алефов бесконечно. Любому порядковому числу соответствует кардинальное число , причём таким образом можно описать любое бесконечно большое кардинальное число.

Связанные определения[ | код]

Примеры[ | код]

Свойства[ | код]

Арифметика кардинальных чисел[ | код]

Обычные арифметические операции над числами натурального ряда можно обобщить на случай кардинальных чисел. Можно также показать, что в случае конечных кардинальных чисел эти операции совпадают с соответствующим арифметическими действиями над числами. Помимо этого, операции над кардинальными числами сохраняют многие свойства обычных арифметических операций.

Следующее по порядку кардинальное число[ | код]

При соблюдении аксиомы выбора для каждого кардинального числа можно определить следующее за ним число , причём между и нет других кардинальных чисел. Если конечно, то следующее кардинальное число совпадает с . В случае бесконечных следующее кардинальное число отличается от следующего порядкового числа.

Сложение кардинальных чисел[ | код]

Если множества и не имеют общих элементов, то сумма мощностей определяется мощностью их объединения. При наличии общих элементов исходные множества можно заменить непересекающимися множествами той же мощности — например, заменить на , а на .

Нейтральность нуля относительно сложения:

Ассоциативность:

Коммутативность:

Монотонность (неубывание) сложения по обоим аргументам:

Сумму двух бесконечных кардинальных чисел можно легко вычислить при соблюдении аксиомы выбора. Если одно из чисел или бесконечно, то

Вычитание[ | код]

При соблюдении аксиомы выбора для любого бесконечного кардинального числа и произвольного кардинального числа существование , при котором , эквивалентно неравенству . Такое единственно (и совпадает с ) тогда и только тогда, когда .

Умножение кардинальных чисел[ | код]

Произведение двух кардинальных чисел выражается через декартово произведение множеств:

Свойства нуля:

Нейтральность единицы относительно умножения:

Ассоциативность:

Коммутативность:

Монотонность (неубывание) умножения по обоим аргументам:

Дистрибутивность умножения относительно сложения:

По аналогии со сложением, произведение двух бесконечных кардинальных чисел можно легко вычислить при соблюдении аксиомы выбора. Если числа и отличны от нуля и хотя бы одно из них бесконечно, то

Деление[ | код]

При соблюдении аксиомы выбора для любой пары кардинальных чисел и , где бесконечно, а не равно нулю, существование , при котором , эквивалентно неравенству . Такое единственно (и совпадает с ) тогда и только тогда, когда .

Возведение кардинальных чисел в степень[ | код]

Возведение в степень определяется следующим образом:

,

где обозначает множество всех функций из в .

(в частности, ), см. Пустая функция

Монотонность:

Заметим, что представляет собой мощность булеана и, следовательно, для любого множества (см. Диагональный метод Кантора). Отсюда следует, что среди кардинальных чисел нет наибольшего (поскольку для любого кардинального числа можно указать большее число ). В действительности класс всех кардинальных чисел является собственным (хотя в некоторых аксиоматизациях теории множество этого доказать нельзя — к таковым, например, относится система «Новых оснований»[en]).

Все последующие утверждения, приведенные в этом разделе, опираются на аксиому выбора.

Если и  — конечные числа, большие 1, а  — бесконечное кардинальное число, то Если кардинальное число бесконечно, а конечно и отлично от нуля, то .

Если и , причём хотя бы одно из них бесконечно, то

.

Используя теорему Кёнига, можно доказать, что для любого бесконечного кардинального числа выполняются неравенства:

,

где обозначает конфинальность .

Извлечение корней[ | код]

При условии соблюдения аксиомы выбора для любого бесконечного кардинала и конечного кардинала существует кардинальное число , при котором , причём .

Логарифмы[ | код]

При соблюдении аксиомы выбора кардинальное число , удовлетворяющее условию , при заданном бесконечном и конечном , существует не всегда. Если же такое существует, то оно бесконечно и меньше , причём любое конечное кардинальное число также будет удовлетворять равенству .

Логарифмом бесконечного кардинального числа называется наименьшее кардинальное число , удовлетворяющее условию . Несмотря на то, что логарифмы бесконечно больших кардинальных чисел лишены некоторых свойств, характерных для логарифмов положительных вещественных чисел, они оказываются полезными в некоторых областях математики — в частности, при изучении кардинальных инвариантов топологических пространств.

Континуум-гипотеза[ | код]

Согласно утверждению континуум-гипотезы, между и не существует других кардинальных чисел. Кардинальное число также обозначается и представляет собой мощность континуума (то есть множества вещественных чисел). В данном случае . Обобщённая континуум-гипотеза отрицает существование кардинальных чисел, заключённых строго между и , для любого бесконечного множества . Континуум-гипотеза является независимой от стандартной аксиоматизации теории множеств, то есть системы аксиом Цермело-Френкеля в сочетании с аксиомой выбора (см. Теория множеств Цермело-Френкеля).

См. также[ | код]

Примечания[ | код]

Литература[ | код]

Реклама