Реклама


Метрический тензор

Метри́ческий те́нзор, или ме́трика, — это симметричное тензорное поле ранга (0,2) на гладком многообразии, посредством которого задаются скалярное произведение векторов в касательном пространстве, длины кривых, углы между кривыми и т. д.

В частном случае поверхности метрика также называется первой квадратичной формой.

В общей теории относительности метрика рассматривается в качестве фундаментального физического поля (гравитационного) на четырехмерном многообразии физического пространства-времени. Широко используется и в других построениях теоретической физики, в частности, в биметрических теориях гравитации на пространстве-времени рассматривают сразу две метрики.

Содержание

Способы задания[ | код]

Координатное представление[ | код]

Метрический тензор в локальных координатах , обычно задаётся как ковариантное тензорное поле . Через него определяются скалярные произведения координатных векторных полей :

А для любых векторных полей скалярное произведение вычисляется по формуле

,

где  — представление векторных полей в локальных координатах.

Замечания[ | код]

Иногда метрический тензор задаётся двойственным способом, с помощью контравариантного тензора .

В случае невырожденных метрик

где  — символ Кронекера. В этом случае оба способа эквивалентны, и оба представления метрики бывают полезны.

Для вырожденных метрик иногда удобнее пользоваться именно контравариантной метрикой. Например, субриманова метрика может быть определена через тензор , но тензор для неё не определён.

Представление в поле реперов[ | код]

Иногда удобно задавать метрический тензор через выбранное (не обязательно координатное, как это описано выше) поле реперов, то есть выбором реперного поля и матрицы .

Например, риманов метрический тензор может быть задан ортонормированным полем реперов[1].

Индуцированная метрика[ | код]

Метрика, которая индуцируется гладким вложением многообразия в евклидово пространство , может быть посчитана по формуле:

где означает матрицу Якоби вложения и  — транспонированная к ней. Иначе говоря, скалярные произведения базисных координатных векторов касательного пространства , которые в этом случае можно отождествить с , определяются как

где обозначает скалярное произведение в .

Более обобщенно[ | код]

Пусть многообразие с метрикой и гладкое вложение. Тогда метрика на , определённая равенством

называется индуцированной метрикой. Здесь обозначает дифференциал отображения .

Типы метрических тензоров[ | код]

Совокупность метрических тензоров подразделяется на два класса:

Обычно под метрическим тензором без специального на то указания в математике понимается риманов метрический тензор; но если, рассматривая невырожденный метрический тензор, хотят подчеркнуть, что речь идет именно о римановом, а не псевдоримановом метрическом тензоре, то о нём говорят как о собственно римановом метрическом тензоре. В физике под метрическим тензором обычно подразумевают лоренцеву метрику пространства-времени.

Иногда под псевдоримановым тензором и псевдоримановым многообразием понимают то, что выше определено как собственно псевдоримановы метрика и многообразие, а для первых сохраняется только термин «невырожденная метрика» и соответственно «многообразие с невырожденной метрикой».

Связанные определения[ | код]

Свойства[ | код]

Метрика и объём[ | код]

Определитель матрицы метрического тензора дает квадрат объема параллелепипеда, натянутого на базисные векторы. (В ортонормированных базисах это единица).

Поэтому величина играет важную роль при вычислении объемов, а также при интегрировании по объему. В частности, входит в общее выражение тензора Леви-Чивиты, используемого для вычисления смешанного произведения, векторного произведения и их многомерных аналогов.

Интегрирование же по объему включает этот множитель, например, при необходимости проинтегрировать в координатах какой-то скаляр (чтобы результат был инвариантным):

где  — это элемент -мерного объема, а  — дифференциалы координат.

Примеры[ | код]

Изоморфизм между касательным и кокасательным пространством[ | код]

Метрический тензор устанавливает изоморфизм между касательным пространством и кокасательным пространством: пусть  — вектор из касательного пространства, тогда для метрического тензора на , мы получаем, что , то есть отображение, которое переводит другой вектор в число , является элементом дуального пространства линейных функционалов (1-форм) . Невырожденность метрического тензора (если или где она есть) превращает это отображение в биекцию, а тот факт, что сам по себе есть тензор, делает это отображение независимым от координат.

Для тензорных полей это позволяет «поднимать и опускать индексы» у любого тензорного поля (жаргонное название — «жонглирование индексами»). В компонентах операция поднятия-опускания индекса, выглядит так:

 — опускание индекса для вектора,
 — поднятие индекса для вектора,
 — пример одновременного поднятия индекса и опускания индекса для тензора большой валентности.

(К скалярам эта операция, естественно, не применяется).

Для тензороподобных объектов (не являющихся тензорами), как например символы Кристоффеля, преобразование контравариантных компонент в ковариантные и обратно определяется, как правило, так же, как и для тензорных. При желании жонглирование можно применить и к матрицам Якоби, только в этом случае нужно проследить за тем, что метрика для поднятия-опускания первого индекса будет, конечно, вообще говоря, отличаться от метрики для такой же операции со вторым.

См. также[ | код]

Примечания[ | код]

  1. См., например,
    • Картан Э. Ж. Риманова геометрия в ортогональном репере. — М.: изд-во МГУ, [1926-1927]1960
    • Картан Э. Ж. Теория конечных непрерывных групп и дифференциальная геометрия изложенная методом подвижного репера. — М.: изд-во МГУ, [1930]1963
Реклама