Матрица Гильберта

В линейной алгебре, матрицей Гильберта (введена Давидом Гильбертом в 1894) называется квадратная матрица H с элементами:

Например, матрица Гильберта 5 × 5 имеет вид:

На матрицу Гильберта можно смотреть как на полученную из интегралов:

то есть, как на матрицу Грама для степеней x. Она возникает при аппроксимации функций полиномами методом наименьших квадратов.

Матрицы Гильберта являются стандартным примером плохо обусловленных матриц, что делает их неудобными для вычислений с помощью вычислительно неустойчивых методов. Например, число обусловленности относительно - нормы для вышеприведённой матрицы равно 4.8 · 105.

История[ | код]

Гильберт (1894) ввёл матрицу Гильберта при изучении следующего вопроса: "Предположим, что I = [a, b] — вещественный интервал. Возможно ли тогда найти ненулевой многочлен P с целочисленными коэффициентами, такой что интеграл

был бы меньше любого заданного числа ε > 0?" Для ответа на данный вопрос Гильберт вывел точную формулу для определителя матриц Гильберта и исследовал их асимптотику. Он пришёл к выводу, что ответ положителен, если длина ba интервала меньше  4.

Свойства[ | код]

где

Уже Гильберт заметил любопытный факт, что определитель матрицы Гильберта является обратным целым числом (см. последовательность A005249 в OEIS). Он следует из равенства

Используя формулу Стирлинга можно установить следующий асимптотический результат:

где an сходится к константе при , где Aпостоянная Глейшера-Кинкелина.

где n — порядок матрицы. Таким образом, элементы обратной матрицы — целые числа.

См. также[ | код]

Ссылки[ | код]