Реклама


Малая полуось

Эллипс, его фокусы и главные оси
Эллипс как коническое сечение, его фокусы и директрисы, получаемые геометрически с помощью шаров Данделена.

Э́ллипс (др.-греч. ἔλλειψις «опущение; нехватка, недостаток <эксцентриситета до 1>») — замкнутая кривая на плоскости, которая может быть получена как пересечение плоскости и кругового цилиндра или как ортогональная проекция окружности на плоскость.

Окружность является частным случаем эллипса. Наряду с гиперболой и параболой, эллипс является коническим сечением и квадрикой.

Содержание

Определение[ | код]

Эллипс — геометрическое место точек M евклидовой плоскости, для которых сумма расстояний до двух данных точек и (называемых фокусами) постоянна и больше расстояния между фокусами, то есть

причём

Комментарии[ | код]

Связанные определения[ | код]

Соотношения между элементами эллипса[ | код]

Части эллипса (описание см. в разделе «Связанные определения»)

.













 — большая полуось
 — малая полуось
 — фокальное расстояние
 — фокальный параметр
 — перифокусное расстояние
 — апофокусное расстояние

Координатное представление[ | код]

Эллипс как кривая второго порядка[ | код]

Эллипс является центральной невырожденной кривой второго порядка и удовлетворяет общему уравнению вида

при инвариантах и где:

Соотношения между инвариантами кривой второго порядка и полуосями эллипса (верно только при условии, что центр эллипса совпадает с началом координат и ):

Каноническое уравнение[ | код]

Для любого эллипса можно найти декартову систему координат такую, что эллипс будет описываться уравнением:

Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса. Оно описывает эллипс с центром в начале координат, оси которого совпадают с осями координат. [1]

Уравнения в параметрической форме[ | код]

Геометрическая иллюстрация параметризации эллипса (анимация).

Каноническое уравнение эллипса может быть параметризовано:

где  — параметр.

Только в случае окружности (то есть при ) параметр является углом между положительным направлением оси абсцисс и радиус-вектором данной точки.

В полярных координатах[ | код]

Если принять фокус эллипса за полюс, а большую ось — за полярную ось, то его уравнение в полярных координатах будет иметь вид

где e — эксцентриситет, а p — фокальный параметр. Знак минус соответствует помещению полюса полярных координат в левый фокус, а знак плюс — в правый.

Если принять центр эллипса за полюс, а большую ось — за полярную ось, то его уравнение в полярных координатах будет иметь вид

Длина дуги эллипса (s) в зависимости от его параметра (θ)

Длина дуги эллипса[ | код]

Длина дуги плоской линии определяется по формуле:

Воспользовавшись параметрическим представлением эллипса получаем следующее выражение:

После замены выражение для длины дуги принимает окончательный вид:

Получившийся интеграл принадлежит семейству эллиптических интегралов, которые в элементарных функциях не выражаются, и сводится к эллиптическому интегралу второго рода . В частности, периметр эллипса равен:

,

где  — полный эллиптический интеграл второго рода.

Приближённые формулы для периметра[ | код]

Максимальная погрешность этой формулы ~0,63 % при эксцентриситете эллипса ~0,988 (соотношение осей ~1/6,5). Погрешность всегда положительная.

Приблизительно в два раза меньшие погрешности в широком диапазоне эксцентриситетов дает формула:

, где

Максимальная погрешность этой формулы ~0,36 % при эксцентриситете эллипса ~0,980 (соотношение осей ~1/5). Погрешность также всегда положительная.

Существенно лучшую точность при обеспечивает формула Рамануджана:

При эксцентриситете эллипса ~0,980 (соотношение осей ~1/5) погрешность составляет ~0,02 %. Погрешность всегда отрицательная.

Ещё точней оказалась вторая формула Рамануджана:

Точные формулы для периметра[ | код]

Джеймс Айвори[2] и Фридрих Бессель[3] независимо друг от друга получили формулу для периметра эллипса:

Альтернативная формула

где  — Арифметико-геометрическое среднее 1 и , а  — модифицированное арифметико-геометрическое среднее 1 и , которое было введено С. Ф. Адлаем в статье 2012 года.[4]

Площадь эллипса и его сегмента[ | код]

Площадь эллипса вычисляется по формуле

Площадь сегмента между дугой, выпуклой влево, и хордой, проходящей через точки и

[источник не указан 2275 дней]

Если эллипс задан уравнением , то площадь можно определить по формуле

.

Построение эллипса[ | код]

Эллипсограф в действии
Построение эллипса с помощью иголок, нитки и карандаша.

Основная статья — статья «Построение эллипса» в Викиучебнике.

Инструментами для рисования эллипса являются:

При помощи циркуля или циркуля и линейки можно построить любое количество точек, принадлежащих эллипсу, но не весь эллипс целиком.

Эллипсы, связанные с треугольником[ | код]

Другие свойства[ | код]

где обозначает площадь фигуры .
  • Более того в равенство достигается в том и только в том случае, если ограничено эллипсом.
  • Среди всех выпуклых замкнутых кривых, ограничивающих данную площадь, эллипс имеет максимальную аффинную длину.

См. также[ | код]

Примечания[ | код]

  1. Если же в правой части стоит единица со знаком минус, то получившееся уравнение:
    описывает мнимый эллипс, он не имеет точек на вещественной плоскости.
  2. Ivory, J. (1798). «A new series for the rectification of the ellipsis». Transactions of the Royal Society of Edinburgh 4: 177–190. DOI:10.1017/s0080456800030817.
  3. Bessel, F. W. (2010). «The calculation of longitude and latitude from geodesic measurements (1825)». Astron. Nachr. 331: 852–861. arXiv:0908.1824. DOI:10.1002/asna.201011352. Englisch translation of (1825) «Über die Berechnung der geographischen Längen und Breiten aus geodätischen Vermesssungen». Astron. Nachr. 4: 241–254. DOI:10.1002/asna.18260041601. Bibcode1825AN......4..241B.
  4. Adlaj, Semjon (September 2012), "An eloquent formula for the perimeter of an ellipse", Notices of the AMS Т. 76 (8): 1094–1099, ISSN 1088-9477, doi:10.1090/noti879, <http://www.ams.org/notices/201208/rtx120801094p.pdf> 
  5. Фейеш Тот Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве//М., Физматгиз, 1958. 364 с.; глава II, § 4,6
  6. Allaire, Patricia R.; Zhou, Junmin; and Yao, Haishen, «Proving a nineteenth century ellipse identity», Mathematical Gazette 96, March 2012, 161—165.

Литература[ | код]

Ссылки[ | код]

Реклама