Реклама


Куб (алгебра)

y=x³, при целых значениях x от 1 до 25

Кубом числа называется результат возведения числа в степень 3, то есть произведение трёх множителей, каждый из которых равен Эта арифметическая операция называется «возведением в куб», её результат обозначается :

Для возведения в куб обратной операцией является извлечение кубического корня. Геометрическое название третьей степени «куб» связано с тем, что античные математики рассматривали значения кубов как кубические числа, особый вид фигурных чисел (см. ниже), поскольку куб числа равен объёму куба с длиной ребра, равной .


Последовательность кубов[ | код]

Последовательность кубов неотрицательных чисел начинается числами[1]:

0, 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744, 3375, 4096, 4913, 5832, 6859, 8000, 9261, 10648, 12167, 13824, 15625, 17576, 19683, 21952, 24389, 27000, 29791, 32768, 35937, 39304, 42875, 46656, 50653, 54872, 59319, 64000, 68921, 74088, 79507, 85184, 91125, 97736, 103823, 110592, 117649, 125000, 132651, 140608, 148877, 157464, 166375, 175616, 185193, 195112, 205379, 216000, 226981, 238328…

Сумма кубов первых положительных натуральных чисел вычисляется по формуле:

Вывод формулы[ | код]

Формулу суммы кубов можно вывести, используя таблицу умножения и формулу суммы арифметической прогрессии[2]. Рассматривая в качестве иллюстрации метода две таблицы умножения 5×5, проведём рассуждения для таблиц размером n×n.

Таблица умножения и кубы чисел
× 1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5
2 2 4 6 8 10
3 3 6 9 12 15
4 4 8 12 16 20
5 5 10 15 20 25
Таблица умножения и арифметическая прогрессия
× 1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5
2 2 4 6 8 10
3 3 6 9 12 15
4 4 8 12 16 20
5 5 10 15 20 25

Сумма чисел в k-ой (k=1,2,…) выделенной области первой таблицы:

А сумма чисел в k-ой (k=1,2,…) выделенной области второй таблицы, представляющих собой арифметическую прогрессию:

Суммируя по всем выделенным областям первой таблицы, получаем такое же число, как и суммируя по всем выделенным областям второй таблицы:

Некоторые свойства[ | код]

последняя
цифра
предпоследняя
цифра
0 0
5 2, 7
4, 8 чётная
2, 6 нечётная
1, 3, 7, 9 любая

Кубы как фигурные числа[ | код]

«Кубическое число» исторически рассматривалось как разновидность пространственных фигурных чисел. Его можно представить как разность квадратов последовательных треугольных чисел[3] :

Разность между двумя соседними кубическими числами есть центрированное шестиугольное число.

Выражение кубического числа через тетраэдральные[3] :

, где

Одна из «гипотез Поллока» (1850 год): каждое натуральное число представимо как сумма не более девяти кубических чисел. Доказана в начале XX века. Обычно достаточно семи кубов, но 15 чисел требуют восьми (15, 22, 50, 114, 167, 175, 186, 212, 231, 238, 303, 364, 420, 428, 454, последовательность A018889 в OEIS), а двум числам нужны все девять: 23 и 239. Если, кроме сложения, допускать вычитание, то достаточно и пяти кубов (возможно, что даже четырёх, но это пока не доказано)[4].

Производящая функция кубических чисел имеет вид[3]:

Примечания[ | код]

  1. Последовательность A000578 в OEIS = The cubes: a(n) = n^3
  2. Роу С. Геометрические упражнения с куском бумаги. — 2-е изд. — Одесса: Матезис, 1923. — С. 68—70.
  3. 1 2 3 4 Деза Е., Деза М., 2016, с. 78—81.
  4. Деза Е., Деза М., 2016, с. 231—232.

Литература[ | код]

Ссылки[ | код]

Реклама