Реклама


Конус

прямой круговой конус
прямой и косой круговые конусы с равным основанием и высотой: они обладают одинаковым объёмом
усечённый прямой круговой конус

Ко́нус (от др.-греч. κώνος «сосновая шишка»[1]) — тело в евклидовом пространстве, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность. Иногда конусом называют часть такого тела, имеющую ограниченный объём и полученную объединением всех отрезков, соединяющих вершину и точки плоской поверхности (последнюю в таком случае называют основанием конуса, а конус называют опирающимся на данное основание). Если основание конуса представляет собой многоугольник, такой конус является пирамидой.

Содержание

Связанные определения[ | код]

Свойства[ | код]

где S — площадь основания, H — высота. Таким образом, все конусы, опирающиеся на данное основание (конечной площади) и имеющие вершину, находящуюся на данной плоскости, параллельной основанию, имеют равный объём, поскольку их высоты равны.
где α — угол раствора конуса.
а полная площадь поверхности (то есть сумма площадей боковой поверхности и основания)
где R — радиус основания,  — длина образующей.
где и  — радиусы соответственно нижнего и верхнего оснований, — высота от плоскости нижнего основания,до верхнего основания.
где и  — площади соответственно верхнего (ближнего к вершине) и нижнего оснований, и  — расстояния от плоскости соответственно верхнего и нижнего основания до вершины.

Уравнение прямого кругового конуса[ | код]

Уравнения, задающие боковую поверхность прямого кругового конуса с углом раствора , вершиной в начале координат и осью, совпадающей с осью Oz:

или
Это уравнение в каноническом виде записывается как
где константы a, с определяются пропорцией Отсюда видно, что боковая поверхность прямого кругового конуса представляет собой поверхность второго порядка (она носит название коническая поверхность). В общем виде коническая поверхность второго порядка опирается на эллипс; в подходящей декартовой координатной системе (оси Ох и Оу параллельны осям эллипса, вершина конуса совпадает с началом координат, центр эллипса лежит на оси Oz) её уравнение имеет вид
причём a/c и b/c равны полуосям эллипса. В наиболее общем случае, когда конус опирается на произвольную плоскую поверхность, можно показать, что уравнение боковой поверхности конуса (с вершиной в начале координат) задаётся уравнением где функция  является однородной, то есть удовлетворяющей условию для любого действительного числа α.

Развёртка[ | код]

Развёртка прямого кругового конуса

Прямой круговой конус как тело вращения образован прямоугольным треугольником, вращающимся вокруг одного из катетов, где h — высота конуса от центра основания до вершины — является катетом прямоугольного треугольника, вокруг которого происходит вращение. Второй катет прямоугольного треугольника r — радиус в основании конуса. Гипотенузой прямоугольного треугольника является l — образующая конуса.

В создании развёртки конуса могут использоваться всего две величины r и l. Радиус основания r определяет в развертке круг основания конуса, а сектор боковой поверхности конуса определяет образующая боковой поверхности l, являющаяся радиусом сектора боковой поверхности. Угол сектора в развёртке боковой поверхности конуса определяется по формуле:

φ = 360°·(r/l).

Вариации и обобщения[ | код]

См. также[ | код]

Примечания[ | код]

Литература[ | код]

Реклама