Реклама


Квадратное число

Полный квадрат, также точный квадрат или квадратное число, — число, являющееся квадратом некоторого целого числа. Иными словами, квадратом является целое число, квадратный корень из которого извлекается нацело. Геометрически такое число может быть представлено в виде площади квадрата с целочисленной стороной.

Например, 9 — это квадратное число, так как оно может быть записано в виде 3 × 3, а также представляет площадь квадрата со стороной, равной 3.

Квадратное число входит в категорию классических фигурных чисел.

Примеры[ | код]

Последовательность квадратов начинается так:

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500, … (последовательность A000290 в OEIS)
Таблица квадратов
_0 _1 _2 _3 _4 _5 _6 _7 _8 _9
0_ 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81
1_ 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361
2_ 400 441 484 529 576 625 676 729 784 841
3_ 900 961 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521
4_ 1600 1681 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 2401
5_ 2500 2601 2704 2809 2916 3025 3136 3249 3364 3481
6_ 3600 3721 3844 3969 4096 4225 4356 4489 4624 4761
7_ 4900 5041 5184 5329 5476 5625 5776 5929 6084 6241
8_ 6400 6561 6724 6889 7056 7225 7396 7569 7744 7921
9_ 8100 8281 8464 8649 8836 9025 9216 9409 9604 9801

Представления и свойства[ | код]

Квадрат натурального числа можно представить в виде суммы первых нечётных чисел:

1:
2:
...
7:
...

Ещё один способ представления квадрата натурального числа:

Пример:

1:
2:
...
4:
...

Сумма квадратов первых натуральных чисел вычисляется по формуле[1]:

Ряд обратных квадратов сходится[2]:

Четыре различных квадрата не могут образовывать арифметическую прогрессию.[3] Арифметические прогрессии из трёх квадратов существуют — например: 1, 25, 49.

Каждое натуральное число может быть представлено как сумма четырёх квадратов (теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов).

4900 — единственное число > 1, которое является одновременно квадратным и пирамидальным.

Суммы пар последовательных треугольных чисел являются квадратными числами.

В десятичной записи квадратные числа имеют следующие свойства:

последняя
цифра
предпоследняя
цифра
0 0
5 2
1, 4, 9 чётная
6 нечётная

Геометрическое представление[ | код]

1
* x
4
* *
* *
* *
* *
9
* * *
* * *
* * *
* * *
* * *
* * *
16
* * * *
* * * *
* * * *
* * * *
* * * *
* * * *
* * * *
* * * *
25
* * * * *
* * * * *
* * * * *
* * * * *
* * * * *
* * * * *
* * * * *
* * * * *
* * * * *
* * * * *

См. также[ | код]

Примечания[ | код]

  1. Некоторые конечные числовые ряды. Math24.ru. Дата обращения: 14 июня 2019. Архивировано 14 июня 2019 года.
  2. Кохась К. П. Сумма обратных квадратов // Математическое просвещение. — 2004. — Вып. 8. — С. 142–163.
  3. K. Brown. No Four Squares In Arithmetic Progression (англ.)

Литература[ | код]

Ссылки[ | код]

Реклама