Задача трёх тел

Приблизительные траектории трёх одинаковых тел, находившихся в вершинах неравнобедренного треугольника и обладавших нулевыми начальными скоростями.
Видно, что центр масс в соответствии с законом сохранения импульса остается на месте.

Задача трёх теластрономии) — одна из задач небесной механики, состоящая в определении относительного движения трёх тел (материальных точек), взаимодействующих по закону тяготения Ньютона (например, Солнца, Земли и Луны). В отличие от задачи двух тел, в общем случае задача не имеет решения в виде конечных аналитических выражений. Известно лишь несколько точных решений для специальных начальных скоростей и координат объектов.

Математическая формулировка[ | код]

Общая задача трёх тел в небесной механике описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка

где гравитационная постоянная,  — массы тел,  — радиус-векторы, определяющие их положение, а точка означает производную по времени.

Частные решения[ | код]

На данный момент известно как минимум 21 частное решение:

В 1892–1899 годах Анри Пуанкаре доказал что существует бесконечно много частных решений задачи трёх тел.

Полости Роша для двойной системы (обозначены жёлтым)

Общий случай[ | код]

Относительно общего случая Вейерштрасс предложил такую задачу (1885 г., конкурс на премию шведского короля Оскара II):

Пусть дана система произвольного числа материальных точек, взаимодействующих по закону Ньютона. Требуется, в предположении, что не произойдет соударения каких-либо двух точек, представить координаты каждой точки в виде рядов по каким-либо непрерывным функциям времени, равномерно сходящихся для всех действительных значений этой переменной[4].

Приближённое решение[ | код]

По всей видимости, сам Вейерштрасс, опираясь на свою знаменитую теорему об аппроксимации произвольной функции полиномами, желал получить выражение для координат тел в виде

,

где  — некоторые полиномы. Существование таких полиномов сразу следует из непрерывности решения, но найти конструктивный способ отыскания полиномов до сих пор не удалось.

Обсуждение самой возможности ситуации, описанной в задаче Вейерштрасса, привело к ряду важных выводов:

Это подтолкнуло Пуанкаре и Зундмана искать решение не в виде функций от , а в виде рядов от некоторого параметра. Именно, координаты трёх тел и время являются голоморфными функциями вдоль всей вещественной оси плоскости , то есть существует некоторая область, в которой координаты голоморфны. По теореме Римана эту область можно отобразить на круг единичного радиуса , поэтому координаты трёх тел и время можно представить в виде функций параметра , голоморфных в круге единичного радиуса. Такие функции представимы в виде сходящегося во всем круге рядов по положительным степеням . Эти ряды были найдены Зундманом в 1912, точнее говоря, был найден алгоритм отыскания их коэффициентов. К несчастью, как показал Д. Белорицкий[6], по крайней мере в случае Лагранжа для нужд вычислительной астрономии в сходящихся рядах Зундмана нужно брать как минимум членов.

Точное решение[ | код]

Брунс и Пуанкаре доказали, что систему дифференциальных уравнений для движения трёх тел невозможно свести к интегрируемой, разложив её на независимые уравнения. Открытие показало, что динамические системы не изоморфны. Простые интегрируемые системы допускают разложение на невзаимодействующие подсистемы, но в общем случае исключить взаимодействия невозможно.

См. также[ | код]

Примечания[ | код]

  1. Стюарт, 2016, с. 217.
  2. Сербские физики значительно расширили число известных решений «задачи трёх тел»
  3. Lenta.ru: Наука и техника: Наука: Физики нашли новые решения ньютоновской задачи трёх тел. Проверено 17 марта 2013. Архивировано 21 марта 2013 года.
  4. Погребысский И. Б. Комм. к Задаче трёх тел Пуанкаре// Пуанкаре А. Избранные труды. Т. 2. М.: Наука, 1979. С.967-976.
  5. Маршал К. Задача трёх тел. М.-Ижевск, 2004
  6. Belorizky, D. Sur la solution du problème des trois corps, donnée par M. Sundman // C. R. 193, 766—768. Published: 1931

Литература[ | код]