Реклама


Задача трёх тел

Приблизительные траектории трёх одинаковых тел, находившихся в вершинах неравнобедренного треугольника и обладавших нулевыми начальными скоростями. Видно, что центр масс в соответствии с законом сохранения импульса остается на месте.

Задача трёх тел в астрономии — одна из задач небесной механики, состоящая в определении относительного движения трёх тел (материальных точек), взаимодействующих по закону тяготения Ньютона (например, Солнца, Земли и Луны). В отличие от задачи двух тел, в общем случае задача не имеет решения в виде конечных аналитических выражений. Известны лишь отдельные точные решения для специальных начальных скоростей и координат объектов.

Математическая формулировка[ | код]

Общая задача трёх тел в небесной механике описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка

где  — гравитационная постоянная,  — массы тел,  — радиус-векторы, определяющие их положение, а точка означает производную по времени.

Частные решения[ | код]

На данный момент известно более тысячи частных решений:

Полости Роша для двойной системы (обозначены жёлтым)

Общий случай[ | код]

Относительно общего случая Вейерштрасс предложил такую задачу (1885 г., конкурс на премию шведского короля Оскара II):

Пусть дана система произвольного числа материальных точек, взаимодействующих по закону Ньютона. Требуется, в предположении, что не произойдет соударения каких-либо двух точек, представить координаты каждой точки в виде рядов по каким-либо непрерывным функциям времени, равномерно сходящихся для всех действительных значений этой переменной.

Погребысский И. Б. Комментарий к Задаче трёх тел Пуанкаре // Пуанкаре А. Избранные труды. — Т. 2. — М.: Наука, 1979. — С. 967—976.

Приближённое решение[ | код]

По всей видимости, сам Вейерштрасс, опираясь на свою знаменитую теорему об аппроксимации произвольной функции полиномами, желал получить выражение для координат тел в виде

,

где  — некоторые полиномы.

Существование таких полиномов сразу следует из непрерывности решения, но найти конструктивный способ отыскания полиномов до сих пор не удалось.

Обсуждение самой возможности ситуации, описанной в задаче Вейерштрасса, привело к ряду важных выводов:

Это подтолкнуло Пуанкаре и Зундмана искать решение не в виде функций от , а в виде рядов от некоторого параметра. Именно, координаты трёх тел и время являются голоморфными функциями вдоль всей вещественной оси плоскости , то есть существует некоторая область, в которой координаты голоморфны. По теореме Римана эту область можно отобразить на круг единичного радиуса , поэтому координаты трёх тел и время можно представить в виде функций параметра , голоморфных в круге единичного радиуса. Такие функции представимы в виде сходящегося во всем круге рядов по положительным степеням . Эти ряды были найдены Зундманом в 1912, точнее говоря, был найден алгоритм отыскания их коэффициентов. К несчастью, как показал Д. Белорицкий[7], по крайней мере в случае Лагранжа для нужд вычислительной астрономии в сходящихся рядах Зундмана нужно брать как минимум членов.

Точное решение[ | код]

Система трёх тел является простейшей системой с динамическим хаосом[1].

Брунс и Пуанкаре доказали, что систему дифференциальных уравнений для движения трёх тел невозможно свести к интегрируемой[1]. Сделанное ими открытие означает, что динамические системы не изоморфны.

Простые интегрируемые системы допускают разложение на невзаимодействующие подсистемы, но в общем случае исключить взаимодействия невозможно.

См. также[ | код]

Примечания[ | код]

  1. 1 2 3 4 5 Трунин, Д. В задаче трех тел обнаружили более шестисот периодических траекторий : [арх. 7 ноября 2018] // N+1. — 2017. — 12 октября.
  2. Стюарт, 2016, с. 217.
  3. Сербские физики значительно расширили число известных решений «задачи трёх тел». Дата обращения: 10 января 2019. Архивировано 11 января 2019 года.
  4. Физики нашли новые решения ньютоновской задачи трёх тел. Lenta.ru (11 марта 2013). Дата обращения: 17 марта 2013. Архивировано 21 марта 2013 года.
  5. Li, Xiaoming and Liao, Shijun. Collisionless periodic orbits in the free-fall three-body problem. — 2018-05-21.
  6. Маршал К. Задача трёх тел. М.-Ижевск, 2004
  7. Belorizky, D. Sur la solution du problème des trois corps, donnée par M. Sundman // C. R. 193, 766—768, 1931.

Литература[ | код]

Ссылки[ | код]

Реклама